定點(diǎn)轉動(dòng)

　　剛體上各點(diǎn)都在以某一定點(diǎn)為球心的球面上運動(dòng)。

　　在運動(dòng)過(guò)程中有一點(diǎn)永遠保持不動(dòng)。我們可取這個(gè)固定點(diǎn)為上述兩個(gè)坐標系的公共原點(diǎn)，坐標軸之間的夾角則可以任一改變�？梢宰C明，在這種情況下，剛體從一個(gè)初位置運動(dòng)到任意一個(gè)新位置時(shí)，恒可通過(guò)三個(gè)獨立的角坐標來(lái)表示。設t=0時(shí)，坐標系oxyz和ox.y.z.重合，如圖4.4（a）；在時(shí)刻t，坐標系oxyz運動(dòng)到一個(gè)新位置，如圖4.4（d）。這個(gè)運動(dòng)可以看作三個(gè)獨立的轉動(dòng)合成。首先，令oxyz平面繞oz.軸轉過(guò)一個(gè)角度φ，使ox軸達到圖4.4（d）中oxy平面和ox.y.平面的交線(xiàn)on的位置，變?yōu)閛x'y'z'如圖4.4（b）。交線(xiàn)on稱(chēng)為節線(xiàn)。其次，使oy'z'平面繞節線(xiàn)on轉過(guò)角度θ，使坐標軸達到新位置ox“y”z“，使oz”軸和圖4.4（d）中oz軸位置重合。最后，令ox“y”平面繞oz“軸轉過(guò)角度φ，使坐標軸達到圖4.4（d）中的最終位置。

　　上述φθ三個(gè)角坐標稱(chēng)為歐拉角，φ稱(chēng)為進(jìn)動(dòng)角，θ稱(chēng)為章動(dòng)角，？稱(chēng)為自轉角，這三個(gè)角度的變化范圍為：

　　0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π。

　　從上面的討論可知，作定點(diǎn)轉動(dòng)時(shí)，剛體在空間的任一位置可有三個(gè)歐拉角唯一確定，所以三個(gè)歐拉角就是剛體定點(diǎn)轉動(dòng)的廣義坐標。 　　但是這種描述方法不是唯一的。例如我們也可以把剛體定點(diǎn)轉動(dòng)看成是轉動(dòng)軸oz方向可以任意變化的定軸轉動(dòng)。要確定oz軸的方向，可用球坐標的余緯角θ和經(jīng)度角φ來(lái)表示，在加上繞軸oz的轉角ψ，它們同樣可以唯一的確定剛體在空間的位置，也是廣義坐標，這三個(gè)角坐標和三個(gè)歐拉角并不完全一樣，其中θ和ψ是一樣的。但兩者的φ并不一樣。

　　一般運動(dòng)

　　平面運動(dòng)與一般轉動(dòng)的結合。

　　剛體作一般運動(dòng)時(shí)，恒可以分解為平動(dòng)和定點(diǎn)轉動(dòng)兩部分。平動(dòng)部分可用c點(diǎn)的三個(gè)坐標x.y.z.描述，定點(diǎn)轉動(dòng)部分可以用三個(gè)歐拉角φθψ描述。這6個(gè)坐標就是剛體作一般運動(dòng)時(shí)的廣義坐標。

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